| 問い |
問 題 ｖｏｌ．１１（方陣算の推理法） |
| １． |
【問題】
【頭の体操問題】（「一歩進んだきまり」）
同じ大きさの白と黒の正三角形のタイルがたくさんあります。
これを、下の図のようにあるきまりにしたがってならべていきます。
これについて、次の問いに答えなさい。
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１．
（１） |
【問題】
５番目の図形には、黒のタイルは何枚使いますか。
【推理法】（どんなきまりかな？）
黒のタイルを順番に推理すると、
１番目⇒０（枚）
２番目⇒１（枚）
３番目⇒１＋２＝３（枚）
４番目⇒１＋２＋３＝６（枚） となる。
すると、５番目の黒タイルの枚数は、
１＋２＋３＋４＝１０（枚） 答え １０枚
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１．
（２） |
【問題】
７番目の図形には、白のタイルは何枚使いますか。
【推理法】（どんなきまりかな？）
（１）と同じように、白のタイルを順番に推理すると、
１番目⇒１（枚）
２番目⇒１＋２＝３（枚）
３番目⇒１＋２＝６（枚）
４番目⇒１＋２＋３＋４＝１０（枚） となる。
すると、７番目の白タイルの枚数は、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝２８（枚） 答え ２８枚
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| ２． |
【問題】
次の図のように、ご石をならべて中実方陣を作りました。
これについて、次の問いに答えなさい。
※中実方陣（ちゅうじつほうじん）とは、中までぎっしりつまって
※いる方陣（正方形の意味と同じ）のことです。
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２．
（１） |
【問題】
上の図は、一辺に７個のご石がならんでいます。
ご石の数は全部で何個ですか。
【推理法】
正方形の面積を求めるときと同じように、
７×７＝４９(個) 答え ４９個
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２．
（２） |
【問題】
上の図で、一番外側のひとまわりのご石の数は何個ですか。
【推理法】（方陣算の基礎）
赤線でかこんだ６個のご石が４グループできます。
ゆえに、ひとまわりのご石の数は、
(７－１)×４＝２４(個) 答え ２４個
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２．
（３） |
【問題】
上の図のように、全部で６４個のご石を使って中実方陣を作
ります。一番外側のひとまわりのご石の数は何個ですか。
【推理法】
６４(個)＝８(個)×８(個)・・・・・一辺８個の正方形
つまり、一辺８個の中実方陣ができます。
すると、
(８－１)×４＝２８(個) 答え ２８個
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| ３． |
【問題】
次の図のように、順番にご石をならべていきます。
これについて、次の問いに答えなさい。
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３．
（１） |
【問題】
８番目の図に使われているご石は全部で何個ですか。
【推理法】
８番目の図は、全部で８段（だん）の正三角形になります。
すると、
黒い石と赤い石をあわせると平行四辺形になる。
平行四辺形で考えると、半分の個数になる。・・・・・三角形の個数
台形の面積の求め方と同じだったね！
ゆえに、(上底＋下底)×高さ÷２＝台形の面積
(１＋８)×８÷２＝３６(個) 答え ３６個
※平行四辺形で考えても台形で考えても、式は同じですよ。
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３．
（２） |
【問題】
外側の一辺が１０個のご石がならびました。
使ったご石は全部で何個ですか。
【推理法】
赤線でかこんだ１０個のご石が３グループできます。
すると、
１０×３＝３０(個)
しかし、これだと頂点の●を２回計算することになります。
ゆえに、
３０－３＝２７(個) 答え ２７(個)
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３．
（３） |
【問題】
外側の一辺が６個のご石をならべました。
そして、その外側の１まわりに白いご石をならべました。
一番外側の白いご石は全部で何個ですか。
【推理法】
外側の１まわりに白いご石をならべると、下の図のようになります。
外側の１まわりに白いご石をならべたとき、１辺の個数は、
赤線でかこんだ９個のご石が３グループできます。
すると、
９×３＝２７(個)
しかし、これだと頂点の●を２回計算することになります。
ゆえに、
２７－３＝２４個) 答え ２４(個)
【別解】
６＋３＝９(個)
(９－１)×３＝２４(個) 答え ２４(個)
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| 次の問題は、すこし難問です。 |
| ４． |
【問題】
何個かのご石を正方形にぎっしりならべました。
すると、２０個あまりました。
そこで、外側に１まわりご石をなれべて増やそうとしたところ、
１６個たりませんでした。ご石は全部で何個ありますか。
【推理法】（方陣算の変化①）
外側の１まわりにならべるために必要なご石の個数は、
２０＋１６＝３６(個)
すると、外側の１辺の個数は、
３６÷４＋１＝１０(個)
ゆえに、全部のご石の数は、
１０×１０－１６＝８４(個) 答え ８４個
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| ５． |
【問題】
何個かのご石を、よこがたての２倍になるようにならべました。
すると、１３個あまりました。
そこで、外側に１まわりご石をなれべて増やそうとしたところ、
９個たりませんでした。ご石は全部で何個ありますか。
【推理法】（方陣算の変化②）
たてとよこに１列ずつ増やすために必要なご石の数は、
１３＋９＝２２(個)
初めの長方形のたてとよこにならんでいる数の和は、
２２－１＝２１(個)
たてとよこにならんでいるご石の数は、
２１÷(１＋２)×１＝７(個)・・・・・たての数
２１－７＝１４(個)・・・・・よこの数
ゆえに、全部のご石の数は、
７×１４＋１３＝１１１(個) 答え １１１個
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